| 科目名 | 数理科学特論Ａ | ||
| 単位数 | 2.0 | ||
| 担当者 | 教授 田中輝雄 | ||
| 履修時期 | 前期（第1ターム） | ||
| 履修対象 | 1・2年次 | ||
| 講義形態 | 講義 | ||
| 講義の目的 |
決定論的現象と非決定論的現象の違い，常微分方程式と確率微分方程式の違いを理解し，確率微分方程式の基礎，数値計算法，応用を修得する． 確率微分方程式論を展開する際に必要となるブラウン運動の基礎とシミュレーション方法，また，ブラウン運動のシミュレーションや確率微分方程式の数値計算を行う際に必要となる乱数，さらに応用としては確率制御問題，最適停止問題等の知識を修得する． This lecture provides an introduction to stochastic analysis and stochastic differential equations, in both theory and applications, emphasizing the numerical methods needed to solve such equations. |
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| 到達目標 |
・ブラウン運動の定義，基本的な性質を理解する． ・ブラウン運動のシミュレーション方法を修得する． ・確率微分方程式の解の存在と一意性，伊藤の公式を理解し，簡単な確率微分方程式の解析解の導出方法を修得する． ・確率微分方程式の数値計算法を修得する． ・確率微分方程式の応用を理解する． |
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| 受講要件 | 常微分方程式，数値計算，確率統計に関する基本的な知識があることが望ましい． | ||
| 履修取消の可否 | 可 | ||
| 履修取消不可の理由 | |||
| 事前・事後学修 | 授業で取り組んだ内容に関する提出課題を完成させる(学修時間：週120分)． | ||
| 講義内容 |
第１回：測度論的確率論，確率過程 第２回：乱数，検定 第３回：ブラウン運動の定義と構成法 第４回：ブラウン運動のシミュレーション 第５回：確率微分方程式 第６回：確率積分の定義と性質 第７回：確率積分のシミュレーション 第８回：確率微分方程式の解 第９回：伊藤の公式 第10回：確率微分方程式の数値解法（オイラー・丸山スキーム） 第11回：確率微分方程式の数値解法（ミルシュテインスキーム） 第12回：確率微分方程式の数値解法（ルンゲ・クッタスキーム） 第13回：確率制御問題と偏微分方程式 第14回：数理ファイナンス 第15回：最適停止問題 |
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| 期末試験実施の有無 | 実施しない | ||
| 評価方法・基準 | レポート（100%）の内容で評価する． | ||
| 教科書等 |
教科書：特になし．第１回目に資料を配付する． 参考書： 【確率論，確率微分方程式】 ・楠岡成雄, 数学の未解決問題 21世紀に向けて 12，ランダムネス, 数理科学 8月号，pp.53-58，サイエンス社，2000 ・志賀徳造，ルベーグ積分から確率論，共立出版，2000 ・長井英生，確率微分方程式，共立出版，1999 【数値計算法】 ・小川重義，確率微分方程式の数値解法，数学，53(1)，pp.34-45，岩波書店，2001 ・金川秀也，小川重義，確率微分方程式の数値解法 2-応用編，数学，53(2), pp.125-138，岩波書店，2001 ・三井斌友, 小藤俊幸, 斉藤善弘, 微分方程式による計算科学入門, 共立出版, 2004 ・四辻哲章，計算機シミュレーションのための確率分布乱数生成法，プレアデス出版，2010 ・S. M. Iacus, Simulation and inference for stochastic differential equations, Springer, 2008 ・P. E. Kloeden and E. Platen, Numerical solution of stochastic differential equations, Springer, 2010 ・P. E. Kloeden, E. Platen and H. Schurz, Numerical solution of SDE through computer experiments, Springer, 2003 【数理ファイナンス】 ・S. E. Shreve 著, 長山いづみ 他訳，ファイナンスのための確率解析Ⅰ，丸善出版，2012 ・S. E. Shreve 著, 長山いづみ 他訳，ファイナンスのための確率解析Ⅱ，丸善出版，2012 ・関根順, 数理ファイナンス, 培風館，2007 ・T. Mikosch, Elementary stochastic calculus with finance in view, World Scientific，1992 |
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| 担当者プロフィール |
情報科学部棟8階830室 所属学会： 日本数学会（統計数学分科会）， 日本オペレーションズ・リサーチ学会， Institute of Mathematical Statistics， Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability， INFORMS(Applied Probability Society) 学習指導・支援体制： 授業内容や課題などに関する学生の個別学習相談を，随時受け付けます．授業や会議あるいは出張などで不在のことがあるので，メールで面会の予約をしてください． |
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| 講義に関連する実務経験 | |||
| 課題や試験に対するフィードバック | 提出したレポートは後日講評する． | ||
| アクティブ・ラーニング | 振り返り | ||
| キーワード |
測度論的確率論，確率過程，乱数，検定，ブラウン運動，確率微分方程式，確率積分，伊藤の公式， オイラー・丸山スキーム，ミルシュテインスキーム，ルンゲ・クッタスキーム，確率制御問題， 最適停止問題 |
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| 備考 |
【教職】高専修（数学） |
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